رامین خاورزاده · ۱۴ شهریور ۱۴۰۲ · 1 دقیقه مطالعه

روش کمترین مربعات (2)

فهرست مطالب

برآوردگر کمترین میانه مربعات (LMS)

برآوردگر LMS نیز توسط روسییو (1984) ارائه شده است. ایدۀ این رگرسیون کاملاً شبیه LTS است و در آن میانۀ مربعات مانده ها مینیمم می شود. یا به عبارتی h تا از مربعات مانده های مرتب شده مینیمم می شود. بدین ترتیب در روش های استوار LMS و LTS تاثیر نقاط پرت که دارای مانده های بزرگ اند، نادیده گرفته می شود و معمولاً h را به صورت

$\frac{n}{2} + 1 \le h \le \frac{{3n}}{4} + \frac{{k + 1}}{4}$

در نظر می گیریم که در آن n تعداد مشاهدات، $\beta = ({\beta _1},...,{\beta _k})$ بردار پارامترها، k تعداد متغیرهای مستقل و ${e_i} = {y_i} - {{x'}_i}\beta$ ها (مانده ها) و مقدار h نقطۀ تفکیک را مشخص می کند.

اگر مربعات مانده های مرتب شده را به صورت ${({e^2})_{1:n}} \le ... \le {({e^2})_{n:n}}$ بنویسیم تابع هدفی که باید مینیمم شود (میانۀ مربعات مانده ها) در روش LMS به صورت زیر تعریف می شود:

${F_{LMS}} = median{({e^2})_{h:n}}$

یا به عبارتی $\min imize{e_{\hat \beta }}mediane_i^2 = median\left\{ {e_1^2,e_2^2,...,e_n^2} \right\}$ .

توجه کنید که $h = \frac{n}{2} + 1$ ، hامین چندک hامین میانۀ مربعات مانده ها است. روش LMS نقطۀ تفکیک بالایی دارد. معمولاً حداقل 50 درصد از داده ها از دست می رود. بنابراین روشی بسیار غیرکاراست؛ و به این دلیل است که معمولاً LTS بر LMS ترجیح داده می شود.

نقطه ضعف M – برآوردهای هوبر نسبت به مشاهدات خیلی دور افتاده می باشد، از این رو معمولاً برآوردهای LTS ، LMS بر برآوردهاای هوبر ترجیح داده می شوند.

برآوردگر نوع R برآوردگرهای نوع R براساس رتبه ها محاسبه می شوند. بنابراین اگر رتبۀ ${e_i} = {y_i} - {{x'}_i}\beta$ باشد، با مینیمم نمودن عبارت زیر برآوردگر نوع R حاصل می شود. $\min imiz{e_\beta }\sum\limits_{i = 1}^n {({y_i} - {{x'}_i}\beta ){R_i}}$ در حالت کلی تر می توانیم به جای رتبه ها که اعدادی صحیح از 1 تا n هستند، از تابع امتیاز $a(i),i = 1,...,n$ استفاده کنیم؛ $\min imiz{e_\beta }\sum\limits_{i = 1}^n {({y_i} - {{x'}_i}\beta )a({R_i})}$ اگر تابع امتیاز را برابر رتبه ها در نظر بگیریم یا به عبارتی $a(i) = i$ ، نتایج را امتیازات ویلاکسون می نامیم. نحوۀ دیگر تعریف $a(i)$ ، استفاده از امتیازهای میانه است که به صورت زیر تعریف می شود. $a(i) = \{ \begin{array}{ccccccccccccccc} { - 1,i < \frac{{n + 1}}{2}}\\ {1,i > \frac{{n + 1}}{2}} \end{array}$ روش کمترین مربعات (2)

نظرات

هنوز نظری ثبت نشده است؛ اولین نفر باشید.

نظرات

ارسال دیدگاه