رامین خاورزاده · ۱۴ شهریور ۱۴۰۲ · 6 دقیقه مطالعه

برآوردگر بیزی

فهرست مطالب

برآوردگر بیزی با توجه به اینکه در آمار بیزی $\theta$ متغیری تصادفی است، بنابراین تابع مخاطره $R(\theta ,\delta )$ نیز یک متغیر تصادفی و تابعی از $\theta$ است. امید ریاضی $R(\theta ,\delta )$ را نسبت به چگالی پیشین $\pi (\theta )$ مخاطره بیزی می نامند که به صورت زیر به دست می آید: $r(\pi ,\delta ) = E[R(\theta ,\delta )] = \int\limits_{{\Theta ^*}} {R(\theta ,\delta )} \pi (\theta )d\theta$ برآوردگر بیزی نسبت به توزیع پیشین $\pi (\theta )$ و تحت تابع زیان $L(\theta ,\delta (X))$ ، آن برآوردگری است که مخاطره بیزی را در بین تمام برآوردگرها می نیمم کند. یعنی برآوردگر بیزی آن برآوردگری است که در رابطۀ زیر صدق کند: $r(\pi ,{\delta ^\pi }) = {\inf _{\delta \in D}}r(\pi ,\delta )$ که در آن D کلاس کلیه برآوردگرها است. قضیه: فرض کنید $\theta$ دارای توزیع پیشین $\pi (\theta )$ و بردار X دارای توزیعی از خانواده $F = \left\{ {f(x|\theta )|\theta \in {\Theta ^*}} \right\}$ باشد. فرض کنید در مسئله برآوردیابی تحت تابع زیان غیرمنفی $L(\theta ,\delta (X))$ شرایط زیر برقرار باشد. الف) یک برآوردگر $\delta (X)$ با تابع مخاطره متناهی موجود باشد. ب) برای هر x برآورد ${\delta ^\pi }(x)$ موجود باشد که مخاطره پسین $r(\pi ,\delta ) = \int\limits_{{\Theta ^*}} {R(\theta ,\delta )} \pi (\theta |x)d\theta$ را می نیمم کند، یعنی $r(\pi ,{\delta ^\pi }) = {\inf _{\delta \in D}}r(\pi ,\delta )$ در این صورت ${\delta ^\pi }(x)$ یک برآوردگر بیزی است. می توان نشان داد که اگر تابع زیان توان دوم خطا، یعنی $L(\theta ,\delta (X)) = {(\delta (X) - \theta )^2}$ باشد، آنگاه برآوردگرِ بیزی $\theta$ به فرم ${\delta ^\pi }(x) = E[\theta |X]$ است. تذکر : باید توجه داشت که حتی اگر توزیع پیشین ناسره باشد، ممکن است توزیع پسین سره و یا مخاطره پسین براساس این توزیع متناهی باشد و براساس قضیه بالا برآوردگر بیزی قابل محاسبه باشد. در این حالت برآوردگرِ بیزی حاصله، برآوردگرِ بیزی تعمیم یافته نامیده می شود.

نظرات

هنوز نظری ثبت نشده است؛ اولین نفر باشید.

نظرات

ارسال دیدگاه