Statistics and data · Ramin Khavarzadeh · 05 Sep 2023 · 1 min read

توزیع کی دو

Table of contents

توزیع کی دو

توزیع نرمال دارای دو پارامتر مجهول $\mu$ و ${\sigma ^2}$ است. توزیع ${S^2} = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({X_i} - \bar X)}^2}}$ را در نظر می گیریم. این توزیع پارامتر مجهول ${\sigma ^2}$ را برآورد می کند. تابع چگالی که نقش اصلی را در به دست آوردن توزیع ${S^2}$ ایفا می کند، توزیعِ کی دو است.

تعریف توزیع :

اگر X متغیر تصادفی با چگالی زیر باشد:

${f_X}(x) = \frac{1}{{\Gamma (k/2)}}{(\frac{1}{2})^{k/2}}{x^{\frac{k}{2} - 1}}{e^{ - \frac{1}{2}x}}{I_{(0,\infty )}}(x)$

آنگاه گفته می شود X دارای توزیع کی دو با k درجه آزادی است.

تذکر: توجه داریم که چگالی کی دو حالت ویژه ای از چگالی گاما با پارامترهای r و $\lambda$ ، به ترتیب مساوی $\frac{k}{2}$ و $\frac{1}{2}$ ، می باشد. بنابراین اگر متغیر تصادفی X دارای توزیعِ کی دو باشد،

$\xi [X] = \frac{{k/2}}{{\frac{1}{2}}} = k$ ${{\rm var}} [X] = \frac{{k/2}}{{{{(1/2)}^2}}} = 2k$ و ${m_X}(t) = {[\frac{{1/2}}{{\frac{1}{2} - t}}]^{k/2}} = {[\frac{1}{{1 - 2t}}]^{k/2}},t < 1/2$

comments

No comments yet — be the first.

comments

Post comment