Skip to main content
Ramin Khavarzadeh Data, signals, interpretation — and what may come next
Ramin Khavarzadeh · · 10 min read

تابع گاما - Gamma Function

کشف تابع گاما (Gamma Function) و نقش آن در ریاضیات، فاکتوریل‌ها و ارتباطات جالب با توابع پیشرفته مثل زتای ریمان و دی‌گاما

تابع گاما - Gamma Function
Table of contents

     

    GammaFunction

    مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد.

    تابع گاما (کامل) Gamma(n) به صورت بسط فاکتوریل (factorial) به آرگومان های عددی مختلط و حقیقی است. این تابع با معادله ی زیر به فاکتوریل مرتبط می شود:

    Gamma(n)=(n-1)!,

    که این نماد مرسوم با توجه به گفته‌ی لژاندر به طور مختصری مشکل‌تر از نماد ساده‌تر معرفی شده توسط گائوس Pi(n)=n! است (Gauss 1812; Edwards 2001, p. 8).

    این تابع در همه جا به جز در ..., -1, -2z=0 تحلیلی (analytic) است، و باقیمانده ی آن در z=-k عبارت است از

    Res_(z=-k)Gamma(z)=((-1)^k)/(k!).

    هیچ نقطه ی  z ای را نمی توان یافت که در آن Gamma(z)=0.

    در استفاده ی مرسوم برای نمایش سری توانی از یک تابع گاما، یک قرارداد نمادگذ‌اری وجود دارد. در حالیکه مولفانی همچون (Watson (1939 بر استفاده از Gamma^n(z) (یعنی بکارگیری از یک قرارداد تابع مثلثاتی-گون) تاکید دارند، طبق سنت نمادگذاری [Gamma(z)]^n استفاده می شود.

    تابع گاما را می توان به صورت یک انتگرال معین (definite integral) برای R[z]>0 تعریف کرد (شکل تعریف شده توسط اویلر)

                    (*)           int_0^inftyt^(z-1)e^(-t)dt    =   Gamma(z)

    2int_0^inftye^(-t^2)t^(2z-1)dt,   =

    یا

    Gamma(z)=int_0^1[ln(1/t)]^(z-1)dt.

    تابع گامای کامل را می توان همچنین به تابع گامای ناتمام (incomplete gamma function) بالایی Gamma(a,x) و تابع گامای ناتمام پایینی gamma(a,x) بسط داد.

    نمودار قسمت های حقیقی و موهومی  Gamma(z) در صفحه ی مختلط در شکل بالا نشان داده شده است.

    با انتگرال گیری جز به جز از معادله (*) برای یک آرگومان حقیقی، مشاهده می شود که

    int_0^inftyt^(x-1)e^(-t)dt      =     Gamma(x)

    [-t^(x-1)e^(-t)]_0^infty+int_0^infty(x-1)t^(x-2)e^(-t)dt      =

    (x-1)int_0^inftyt^(x-2)e^(-t)dt     =

    (x-1)Gamma(x-1).     =

    چنانچه x یک عدد صحیح باشد، آنگاه

    (n-1)Gamma(n-1)      =     Gamma(n)

    (n-1)(n-2)Gamma(n-2)     =

    (n-1)(n-2)...1     =

    (n-1)!,     =

    بنابراین تابع گاما به ازای آرگومان های صحیح مثبت (positive integer) به فاکتوریل تقلیل می یابد.

    یک رابطه ی زیبا مابین Gamma(z) و تابع زتای ریمان (Riemann zeta function) zeta(z) به صورت زیر است

    zeta(z)Gamma(z)=int_0^infty(u^(z-1))/(e^u-1)du

    برای R[z]>1 (Havil 2003, p. 60).

    تابع گاما همچنین می تواند به صورت یک حاصلضرب نامتناهی (infinite product) یعنی صورت ویراشتراوس (Weierstrass form) تعریف شود:

    Gamma(z)=[ze^(gammaz)product_(r=1)^infty(1+z/r)e^(-z/r)]^(-1),

    که gamma ثابت اویلر ـ ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) است (Krantz 1999, p. 157; Havil 2003, p. 57). با لگاریتم گرفتن از طرفین معادله ی اخیر داریم:

    -ln[Gamma(z)]=lnz+gammaz+sum_(n=1)^infty[ln(1+z/n)-z/n].

    با مشتق گیری از این رابطه بدست می آوریم:

    1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)((1/n)/(1+z/n)-1/n)     =    -(Gamma^'(z))/(Gamma(z))

    1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n)     =

    -Gamma(z)[1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n)]    =     Gamma^'(z)

    Gamma(z)Psi(z)   =

    Gamma(z)psi_0(z)   =

    -Gamma(1){1+gamma+[(1/2-1)+(1/3-1/2)+...+(1/(n+1)-1/n)+...]}    =    Gamma^'(1)

    -(1+gamma-1)   =

    -gamma   =

    -Gamma(n){1/n+gamma+[(1/(1+n)-1)+(1/(2+n)-1/2)+(1/(3+n)-1/3)+...]}   =   Gamma^'(n)

    -(n-1)!(1/n+gamma-sum_(k=1)^(n)1/k),   =

    که  Psi(z) تابع دی گاما (digamma function) و  psi_0(z) تابع چند گامایی (polygamma function) هستند.  nامین مشتق ها برحسب توابع چند گامایی (polygamma functions) psi_n, psi_(n-1), ..., psi_0 داده می شوند.

    Share:

    comments

    No comments yet — be the first.

    Post comment