ناحیه اطمینان توام

1402/06/14

دسترسی سریع

ناحیه اطمینان توام

فرض کنید ${X_1},{X_2},...,{X_n}$ یک نمونه تصادفی از جامعه ای با تابع چگالی احتمال $f(x;{\theta _1},{\theta _2})$ باشد که ${\theta _1}$ و ${\theta _2}$ پارامترهای مجهول می باشند. یک ناحیه اطمینان توام $100(1 - \gamma )\%$ برای $({\theta _1},{\theta _2})$ یک ناحیه تصادفی $R(\underline X )$ می باشد به طوری که:

$P\left[ {({\theta _1},{\theta _2}) \in R(\underline X )} \right] = 1 - \gamma$

ناحیه اطمینان توام تعمیمی دو بعدی از فاصله اطمینان است که مجموعه ای از نقاط در یک فضای دو بعدی می باشد که اغلب به عنوان یک بیضی حول نقطه برآورد شده

$({{\hat \theta }_1},{{\hat \theta }_2})$ نشان داده می شود، هرچند به شکل های دیگر نیز می توان باشد.

ناحیه اطمینان توام به طور مفصل در کتاب های استاندارد آمار ریاضی مورد بحث قرار نگرفته است. تنها توصیف از ناحیه اطمینان توام، در کتب آمار ریاضی، ناحیه اطمینان توام برای میانگین و واریانس توزیع نرمال می باشد.

فرض کنید ${X_1},{X_2},...,{X_n}$ یک نمونه تصادفی از توزیع نرمال با پارامترهای $\mu$ و ${\sigma ^2}$ باشند، به طوری که $\mu \in R$ و ${\sigma ^2} \in {R^ + }$ . یک ناحیه اطمینان توام $100(1 - \gamma )\%$ برای $(\mu ,{\sigma ^2})$ به صورت زیر به دست می آید.

چون کمیت های محوری ${Q_1} = \frac{{\sqrt n (\overline X - \mu )}}{\sigma } \sim N(0,1)$ و ${Q_2} = \frac{{{{\sum\limits_{i = 1}^n {({X_i} - \overline X )} }^2}}}{{{\sigma ^2}}} \sim \chi _{(n - 1)}^2$ مستقل می باشند، لذا با استفاده از جدول استاندارد می توانیم مقادیر a ، b و c را طوری پیدا کنیم که:

$P\left[ { - a < \frac{{\sqrt n (\overline X - \mu )}}{\sigma } < a} \right] = 1 - {\gamma _1}$

$P\left[ {b < \frac{{{{\sum\limits_{i = 1}^n {({X_i} - \overline X )} }^2}}}{{{\sigma ^2}}} < c} \right] = 1 - {\gamma _2}$

که a صدک بالایی $\frac{{{\gamma _1}}}{2}$ توزیع نرمال استاندارد و b و c به ترتیب صدک های بالایی و پایینی $\frac{{{\gamma _2}}}{2}$ توزیع خی دو با n-1 درجه آزادی می باشند. چون دو کمیت محوری مستقل هستند می توانیم بنویسیم:

$P\left[ { - a < \frac{{\sqrt n (\overline X - \mu )}}{\sigma } < a,b < \frac{{{{\sum\limits_{i = 1}^n {({X_i} - \overline X )} }^2}}}{{{\sigma ^2}}} < c} \right] = (1 - {\gamma _1})(1 - {\gamma _2})$

با حل گزارۀ احتمالی فوق برحسب $\mu$ و ${\sigma ^2}$ یک ناحیه اطمینان توام با ضریب اطمینان $(1 - {\gamma _1})(1 - {\gamma _2})$ برای $(\mu ,{\sigma ^2})$ ناحیه $R(\underline X )$ است که

$R(\underline X ) = \{ (\mu ,{\sigma ^2}):\overline X - a\frac{\sigma }{{\sqrt n }} < \mu < \overline X + a\frac{\sigma }{{\sqrt n }},$

$\frac{{{{\sum\limits_{i = 1}^n {({X_i} - \overline X )} }^2}}}{c} < {\sigma ^2} < \frac{{{{\sum\limits_{i = 1}^n {({X_i} - \overline X )} }^2}}}{b}\}$