مقدمه ای بر هموار سازهای اسپلاین

رگرسیون خطی یکی از قدیمی ترین و پر استفاده ترین تکنیک های آماری است که در ساده ترین حالت مقدار مورد انتظار یک متغیر پاسخ تک متغیره را برحسب یک پیش بین خطی مدل سازی می کند.

یک پیش بین خطی تابعی پارامتری از متغیرهای توضیحی است که روی مقدار متغیر پاسخ تاثیر اثرگذار است. مجموعه داده های زیادی وجود دارند که برازاندن یک مدل خطی به آنها مناسب نیست.

می توان پیش بینی خطی را با اضافه کردن توابع چند جمله ای از متغیرهای توضیحی تعمیم داد، اما مدل های چند جمله ای در بسیاری از مواقع داده ها را به درستی برازش نمی دهند که در این صورت می توان برای تلخیص روند متغیر پاسخ به عنوان تابعی از متغیرهای توضیحی از هموارسازها استفاده کرد.

ویژگی مهم یک هموارساز ماهیت ناپارامتری آن است بدین صورت که یک فرم تابعی از پیش تعیین شده برای بیان رابطه بین این رابطه به طور مستقیم از داده ها حاصل می شود. میانگین متحرک، خط متحرک، هموارسازهای هسته و هموارسازهای اسپلاین چند نمونه از تکنیک های هموار سازی هستند.

در ابتدا تکنیک های برآورد مدل های رگرسیون با استفاده از توابع اسپلاین براساس دو شیوۀ اصلی بوده است: اسپلاین های رگرسیونی و اسپلاین های هموارسازی.

اسپلاین های رگرسیونی با استفاده از یک تعداد کوچک گره تعریف می شوند که برای تضمین هموار بودن منحنی به دقت انتخاب شده اند. با این فرض که f یک تابع نامعلوم هموار در یک مدل رگرسیون ناپارامتری باشد، اسپلاین های هموار سازی بهترین جواب برای برآورد f هستند اما تعداد پارامترهایی که باید برآورد شود به بزرگی تعداد مشاهدات است و این باعث می شود اسپلاین های هموار سازی یک شیوۀ شدیداً محاسباتی برای مدل سازی توابع نامعلوم f باشند.

هموار سازهای اسپلاین

اسپلاین ها چند جمله ای های تکه ای هستند که در نقاطی به نام گره به هم متصل می شوند. اسپلاین ها در ادبیات آماری به عنوان درون یاب معرفی شده اند اما بیشتر مدل های آماری با یک خطای اندازه گیری داده ها را برازش می دهند.

بنابراین باید یک نوع اسپلاین ایجاد کنیم که بتواند از نزدیک داده ها عبور کند اما نه فقط مشروط به آنکه آنها را درون یابی کند. به این عمل هموار سازی اسپلاین گفته می شود.

توابع اسپلاین

یک تابع اسپلاین  (g(x از درجه s یک چند جمله ای تکه ای است که چندجمله ای های تکه ای (همه از درجه s) برای ساختن یک منحنی هموار در گره های  ،  ، به هم متصل می شوند. مجموعه گره های  همیشه یک دنبالۀ اکیداً صعودی را نمایش می دهند. بنابراین می توان نوشت:

تکه های چند جمله ای   به صورت همواری در گره ها به هم متصل می شوند یعنی در گره ها پیوسته و نیز دارای s-1 مشتق پیوسته هستند. به عبارت دیگر