تقارن در توزیع های یک متغیره و چند متغیره

1402/04/26

دسترسی سریع

متغیر تصادفی X با توزیع تک مدی ${f_X}(x)$ را حول $\theta$ متقارن گویند، هرگاه رابطه $X - \theta = \limits^D \theta - X$ برقرار باشد، که در آن $= \limits^D$ به معنی هم توزیعی است.

معمولاً منحنی فراوانی نرمال استاندارد به دلیل تقارت حول مبداء مبنای قضاوت در مورد تقارن و سنجش میزان چولگی توزیع های احتمالی تک مدی قرار می گیرد. اما در توزیع های چند متغیره ، تقارن انواع متفاوتی دارد.

تقارن کروی

بردار تصادفی ${X_{d \times 1}}$ دارای توزیع متقارن کروی حول بردار ${\theta _{d \times 1}}$ است، هرگاه چرخش X حول $\theta$ به ازازی هر ماتریس متعامد ${A_{d \times d}}$ تغییری در توزیع ایجاد نکند. به عبارتی رابطۀ $X - \theta = \limits^D A(\theta - X)$ برقرار باشد.

تابع مشخصۀ X به صورت ${e^{it'\theta }}h(tt')$ و تابع چگالی احتمال آن در صورت وجود به صورت $g((x - \theta )'(x - \theta ))$ است، که در آن $g(.)$ یک تابع نامنفی است.

توزیع چند متغیره نرمال با ماتریس کوواریانس ${\sigma ^2}{I_d}$ تنها توزیع متقارن کروی نیست، بلکه توزیع های دیگری نیز مانند توزیع t استاندارد چند متغیره و توزیع لجستیک نیز چنین هستند. برای درک بهتر توزیع نرمال و توزیع پواسن نیز می توانید به مقاله مربوط به این موضوع مراجعه کنید.

تقارن بیضوی

بردار تصادفی ${X_{d \times 1}}$ دارای توزیع متقارن بیضوی با پارامترهای ${\theta _{d \times 1}}$ و ${\sum {} _{d \times d}}$ است، هرگاه با بردار تصادفی متقارن کروی ${Y_{d \times 1}}$ متناسب باشد. به عبارتی رابطه $X = \limits^D A'Y + \theta$ برقرار باشد، که در آن $\sum = A' \times A$ و رتبه $\sum {}$ برابر $k \le d$ است.

تابع مشخصۀ X به صورت ${e^{it'\theta }}h(t'\sum t )$ و تابع چگالی احتمال آن در صورت وجود به صورت $|\sum {{|^{ - \frac{1}{2}}}} g((x - \theta )'\sum {^{ - 1}} (x - \theta ))$ است، که در آن $g(.)$ تابعی نامنفی است. می توان اثبات کرد که خانواده چگالی های متقارن بیضوی تحت تبدیلات خطی و شرطی کردن بسته هستند.

نظرات

هیچ نظری وجود ندارد.

تقارن در توزیع های یک متغیره و چند متغیره

دسترسی سریع

نظرات

افزودن نظر

آخرین مقالات