تحلیل عاملی یا تجزیه به عامل ها و مولفه های اصلی در R

بسمه تعالی نام دانشجو:میناخان محمدی نام استاد:آقای دکترخاورزاده تمرین:تحلیل عاملی و مولفه های اصلی   مقدمه ای بر تحلیل عاملی (روشی برای خلاصه سازی داده ها)   تحلیل عاملی چیست؟ تحلیل عاملی نامی عمومی است برای برخی روشهای آماری چند متغیره که هدف اصلی آن خلاصه کردن داده ها می باشد. این روش به بررسی همبستگی درونی تعداد زیادی از متغیرها می پردازد و در نهایت آن ها را در قالب عامل های کلی محدودی دسته بندی و تبیین می کند. تحلیل عاملی روشی هم وابسته بوده که در آن کلیه متغیرها به طور همزمان مدنظر قرار می گیرند، به عبارت دیگر در این تکنیک که به دو نوع Q و R قابل تقسیم است، هریک از متغیرها به عنوان یک متغیر وابسته لحاظ می شوند. بنیان های اولیه تحلیل عاملی: گالتون اولین کسی بود که پایه های اولیه تحلیل عاملی را بنا نهاد پس از او کارل پیرسون د راوایل قرن بیستم روشی برای تحلیل عاملی براساس یک فضای چندبعدی هندسی ارائه داد و در پی آن مک دونال این روش را در زمینه شناسایی جرایم و ارتباط آن با ویژگی های فیزیکی افراد مورد استفاده قرار داد.اسپیرمن نیز در سال 1904 به معرفی مدل های ریاضی این روش پرداخت. با این تلاش ها اصول و بنیان های تحلیل عاملی شکل گرفت و امروزه در سطح وسیع توسط شاخه های مختلف علوم نظیر روانشناسی، اقتصاد، جامعه شناسی، مدیریت، پزشکی و... مورد استفاده قرار می گیرد. اهداف تحلیل عاملی: هدف اصلی تحلیل عاملی تلخیص تعداد زیادی از متغیرها در تعداد محدودی از عامل ها می باشد، بطوریکه کمترین میزان از دست رفتن اطلاعات را داشته باشیم. علاوه بر این تحلیل عاملی کاربردهای مختلفی در تحلیل داده ها دارد که مهمترین آن ها به شرح زیر است :

1. دستیابی به ابعادی که به صورت پنهانی در مجموعه وسیعی از متغیرها وجود دارد ولی به آسانی قابل مشاهده نمی باشند. این نوع تحلیل عاملی به تحلیل عاملی نوع R معروف است.
2. ابداع روشی برای ترکیب و تلخیص تعداد زیادی از افراد در گروه های مختلف در درون یک جامعه بزرگ. این روش به تحلیل عاملی نوع Q معروف است.
3. شناسایی متغیرهای مناسب از بین مجموعه ی وسیعی از متغیرها به منظور استفاده در تحلیل های بعدی رگرسیون چندگانه یا تحلیل تشخیصی.
4. ایجاد مجموعه کوچک و کاملا جدیدی از متغیرها که به طور کامل به جای متغیرهای اصلی در تحلیل های بعدی رگرسیون یا تحلیل تشخیصی مورد استفاده قرار گیرد.

فرآیند تصمیم گیری در تحلیل عاملی: مانند سایر روش های آماری اولین گام در تحلیل عاملی بیان مسئله است. برای اجرای یک تحلیل عاملی هر نوع متغیر مرتبط با مسئله تحقیق را می توان بکار گرفت. داده های خام نیز باید از نوع کمی باشند اما در مواقعی می توان از متغیرهای مجازی(با کدهای0و1) و غیر پارامتری یا کیفی نیز استفاده کرد. ماتریس همبستگی : اولین و مهمترین نکته در بکارگیری تحلیل عاملی، محاسبه ماتریس همبستگی است. برای این کار باید مشخص شود که آیا هدف محاسبه همبستگی بین متغیرهااست یا بین پاسخگویان. در صورتی که تلخیص متغیرها مدنظر باشد بایستی همبستگی بین متغیرها محاسبه شود، در اینصورت تکنیک مورد استفاده تحلیل عاملی نوع Rنامیده می شود.اما در صورتیکه هدف از تحلیل عاملی ترکیب و طبقه بندی پاسخگویان در گروه های مختلف باشد، ماتریس همبستگی بین پاسخگویان محاسبه و بکار گرفته می شود؛ و از آن به تحلیل عاملی نوع Qیاد می شود. البته این روش به دلیل مشکل بودن کمتر مورد استفاده قرار می گیرد و بجای آن از روش هایی مانند تحلیل خوشه ای یا گروهبندی سلسله مراتبی استفاده می گردد. انتخاب متغیرهای مناسب برای تحلیل عاملی : یکی از روش های انتخاب متغیرهای مناسب در تحلیل عاملی استفاده از ماتریس همبستگی می باشد. از آنجایی که اساس تحلیل عاملی بر همبستگی بین متغیرها اما از نوع غیر علی استوار است، بنابراین در این روش ماتریس همبستگی بین متغیرها محاسبه می شود. این ماتریس با نمایش میزان رابطه بین متغیرها موجب شکل گیری خوشه هایی می شود به طوریکه متغیرهای درون هرخوشه با یکدیگر همبستگی دارند ولی بین متغیرهای موجود در خوشه های مختلف همبستگی وجود ندارد. از جمله روش های دیگری که به وسیله آن محقق قادر به تشخیصمناسب بودن داده ها برای تحلیل عاملی می باشد، آزمون (Kaiser-Meyer-Olkin) KMO می باشد.مقدار آماره ی این آزمون همواره بین 0و1 تغییر می کند. در صورتیکه مقدار این آماره کمتر از 0.5 باشد داده ها برای تحلیل عاملی مناسب نخواهند بود، اگر مقدار آن بین 0.5 تا 0.69 باشد می توان با احتیاط بیشتر به تحلیل عاملی پرداخت و نهایتاً در حالتیکه مقدار این آماره بیش از 0.7 باشد می توان گفت همبستگی های موچود در بین داده ها برای تحلیل عاملی مناسب می باشند. نکته : از آنجایی که برای معنا دار بودن یک مدل عاملی لازم است متغیرها همبسته باشند، برای اطمینان از اینکه ماتریس همبستگی هایی که پایه ی تحلیل عاملی قرار می گیرد در جامعه برابر با صفر نیست بایستی از آزمون بارتلت استفاده نمود. آزمون بارتلت این فرضیه را که ماتریس همبستگی های مشاهده شده متعلق به جامعه ای با با متغیرهای ناهمبسته است می آزماید. اگر این فرضیه که متغیر ها باهم رابطه ندارند رد نشود، کاربرد تحلیل عاملی زیر سؤال خواهد رفت. حجم نمونه : به عنوان یک قاعده کلی تعداد نمونه باید در حدود چهار یا پنج برابر تعداد متغیرهای مورد استفاده باشد. البته این نسبت تا حدودی محافظه کارانه است. در برخی موارد محقق مجبور است تا با نسبت 2 به 1 نیز به تحلیل عاملی بپردازد، اما در اینصورت بایستی توجه داشت که تفسیر یافته ها با اطمینان کمتری و با احتیاط بیشتری انجام می شود. نهایتا تأکید می شود که تعداد نمونه ها نباید کمتر از 50 باشد. مدل های عاملی : در تحلیل عاملی مدل های مختلفی وجود دارد که از پرکاربردترین آن ها می توان به دو روش تحلیل مؤلفه های اصلی و تحلیل عاملی مشترک اشاره نمود. انتخاب هر یک از این مدل ها به هدف محقق بستگی دارد. مدل تحلیل مؤلفه های اصلی هنگامی مورد استفاده قرار می گیرد که هدف تلخیص متغیرها و دستیابی به تعداد محدودی متغیر برای اهداف پیش بینی باشد. در مقابل، تحلیل عاملی مشترک زمانی بکار می رود که هدف شناسایی عامل ها یا ابعادی باشد که به سادگی قابل شناسایی نیستند. روش استخراج عامل ها : علاوه بر انتخاب مدل تحلیل، محقق باید مشخص کند که عامل ها چگونه باید استخراج شوند. دو روش کلی برای این کار وجود دارد، روش عامل های متعامد و روش عامل های متمایل. در روش متعامد فرض می شود که هر عامل مستقل از سایر عوامل است و همبستگی بین عامل ها به طور قراردادی صفر در نظر گرفته می شود. اما روش عاملی متمایل فرض می کند که متغیرهای اصلی دارای همبستگی و بنابراین عامل ها نیز باید دارای حدی از همبستگی باشند. انتخاب هریک ازاین روش ها بستگی به اهداف تحقیق دارد، اگر هدف تلخیص تعداد متغیرها باشد بدون توجه به اینکه نتایج عامل های استخراج شده تا چه حد معنادار خواهد بود و یا اگر هدف تشکیل مجموعه ای از متغیرهای ناهمبسته باشد برای انجام روش های رگرسیون و پیش بینی ،روش متعامد انتخاب مناسبی خواهد بود. در حالیکه اگر هدف دستیابی به عواملی معنادار باشد، روش متمایل پیشنهاد می شود. معیارهای استخراج تعداد عامل ها: یکی از موارد مهم در تحلیل عاملی تعیین تعداد عامل های قابل استخراج است.بطور معمول به تعداد متغیرهایی که در تحلیل وارد می شوند می توان عامل استخراج کرد، اما آخرین عامل ها معمولاً سهم بسیار کمی در تبیین موضوع دارند.بنابراین نیاز به تعیین تعداد عامل های مورد نیاز داریم. هرچند مبنای دقیقی برای این کار وجود ندارد ولی معیارهایی مانند : معیار مقدار ویژه، معیار پیشین، معیار درصد واریانس و معیار تست بریدگی ، می تواند در تصمیم گیری در مورد عامل های استخراجی کارساز باشند.پس از تعیین تعداد عامل های مورد استخراج ، با بررسی معنی داری بارهای عاملی ، به تفسیر این عامل ها پرداخته می شود. نحوه اجرای تحلیل عاملی در نرم افزارR: برای نوشتن تحلیل عاملی از تابع ()factanal وبرهان هایشان استفاده می کنیم. تحلیل عاملی با استفاده از ماتریس همبستگی و روش حداکثر درست نمایی mleانجام می شود. شکل کلی آن: (تعداد فاکتورها،ماتریس داده ها)factanal حالا برای فهم آن از یک مثال کمک می گیریم. مثال: آزمایشی صورت گرفته که عوامل موثر در خرید کامپیوتر شخصی(لپ تاپ) تعیین می شود. از اطلاعات 16خریدار استفاده شده است: 6متغیر داریم: قیمت ،نوع نرم افزار،زیبایی، نام شرکت تولیدکننده ،نظر دوستان یا دیگران ونظرخانواده. که هر نفر نسبت به شاخص هایی از 1تا7 نمره داده اند. قیمت از1گران تا7مناسب ، نوع نرم افزار از1ساده تا7دشوار، زیبایی از1نامناسب تا7زیبا، نام شرکت تولید کننده از1ناشناخته تا7معروف، نظردوستان از1بی اهمیت تا7مهم ونظرخانواده از1بی اهمیت تا7مهم. همانطور که در جدول زیر آمده است:

kharidar	cost	narmafzar	zibaei	sherkat	khanevade	dostan
p1	6	5	3	4	7	6
p2	7	3	2	2	2	3
p3	6	4	4	5	5	4
p4	5	7	1	3	6	7
p5	7	7	5	5	2	1
p6	6	4	2	3	4	5
p7	5	7	2	1	1	4
p8	6	5	4	4	7	5
p9	3	5	6	7	3	4
p10	1	3	7	5	2	4
p11	2	6	6	7	6	5
p12	5	7	7	6	7	7
p13	2	4	5	6	6	2
p14	3	5	6	5	2	3
p15	1	6	5	5	4	5
p16	2	3	7	7	5	6

  داده های بالا رادر نرم افزار excel بصورت فایل متنی با پسوندtxt با آدرس زیر ذخیره می کنیم ودرRبا تابع read table خوانده می شود.

          (  data.computer<-read.table("E://my data/computer.txt",header=T

وحالا دستور بالا را درR ران میکنیم:

data.computer<-read.table("E://my data/computer.txt",header=T)<

data.computer<

با اجرای دستور بالا خروجی زیر بدست می آید:

   kharidar cost narmafzar zibaei sherkat khanevade dostan

1        p1    6         5      3       4         7      6

2        p2    7         3      2       2         2      3

3        p3    6         4      4       5         5      4

4        p4    5         7      1       3         6      7

5        p5    7         7      5       5         2      1

6        p6    6         4      2       3         4      5

7        p7    5         7      2       1         1      4

8        p8    6         5      4       4         7      5

9        p9    3         5      6       7         3      4

10      p10    1         3      7       5         2      4

11      p11    2         6      6       7         6      5

12      p12    5         7      7       6         7      7

13      p13    2         4      5       6         6      2

14      p14    3         5      6       5         2      3

15      p15    1         6      5       5         4      5

16      p16    5         3      7       7         5      6

 تابع header=T نشان می دهدکه  نام متغیرها در فایل اصلی داده ها معتبر است. حالا با دستور زیر تحلیل عاملی داده های بالا را اجرا می کنیم:

<("factor.computer<-factanal(data.computer[-1],factors=2,scores="regression

factor.computer<

:Call

factanal(x = data.computer[-1], factors = 2, scores = "regression")

 

:Uniquenesses

     cost narmafzar    zibaei   sherkat khanevade    dostan

    0.688     0.962     0.145     0.062     0.005     0.604

 

:Loadings

          Factor1 Factor2

cost      -0.546   0.118

narmafzar -0.155   0.117

zibaei     0.923        

sherkat    0.938   0.243

khanevade          0.993

dostan    -0.102   0.621

               Factor1 Factor2

SS loadings      2.073   1.460

Proportion Var   0.345   0.243

Cumulative Var   0.345   0.589

Test of the hypothesis that 2 factors are sufficient.

The chi square statistic is 1.11 on 4 degrees of freedom.

The p-value is 0.8

  با گزینه factor=2 نشان داده است که تعداد فاکتورهای عاملی 2تاست. وهم چنین گزینه  data.computer[-1] ستون اول داده ها که مشخصه هر شرکت کننده است به دلیل غیرعددی بودن از مجموعه داده های آبجکت computer حذف شده است. چون در تحلیل عاملی عدد مدنظر است. گزینه Uniquenesses مقدار باقی مانده مدل رود قطرماتریس  ضرایب همبستگی می باشد. هرچه داده ها به صفر نزدیک تر باشند تجزیه به عامل ها با کارایی بیشتری صورت گرفته است. در دو عامل مورد بررسی یعنی فاکتور1 فاکتور2 مجموعا 61 درصد تغییرات کل داده ها را توجیه می کند. در فاکتور اول چون درصد نام شرکت تولید کننده با0.9 و زیبایی بامقدار0.9 بیشتر است یعنی برای خرید کامپیوتر شخصی برند و زیبایی برایشان حائز اهمیت است. و اما برای فاکتور دوم نظرخانواده ونظردیگران  به ترتیب با درصد 0.9و0.6 حائز اهمیت است. پس در عامل اول متغیر زیبایی و برند بیشترین نقش و در عامل دوم نظرخانواده و دیگران بیشترین نقش را دارد. وحالا برای مشاهده ضرایب هریک از فاکتورها به ترتیب از دسیور زیر استفاده می کنیم:  

 factor.computer$loading[,1]<

       cost  narmafzar    zibaei    sherkat   khanevade     dostan

-0.54572231 -0.15490966  0.92305470  0.93760858  0.09825626 -0.10172624

 factor.computer$loadings[,2]<

       cost   narmafzar      zibaei     sherkat   khanevade      dostan

 0.11799845  0.11743043 -0.05090721  0.24268247  0.99264933  0.62113373

وبرای مشاهده امتیاز داده ها از دستور زیر استفاده می کنیم:

 factor.computer$scores<

         Factor1     Factor2

 [1,] -0.7200602  1.35991315

 [2,] -1.3198840 -0.98262693

 [3,] -0.0189915  0.33213656

 [4,] -1.3565826  0.95033891

 [5,]  0.3188164 -1.14244418

 [6,] -1.0584212 -0.04319965

 [7,] -1.6428613 -1.42908564

 [8,] -0.5589085  1.33769002

 [9,]  1.2593846 -0.74519462

[10,]  0.7361232 -1.18640505

[11,]  1.0682923  0.70736847

[12,]  0.6819685  1.22302316

[13,]  0.5557620  0.74525118

[14,]  0.5422584 -1.16497710

[15,]  0.2742681 -0.17609953

[16,]  1.2388359  0.21431125

نتایج 16 نفر برای ام شرکت تولید کننده یا برند و حرف دیگران را نشان می دهد، که همانطور که ملاحظه می کنید بطور مثال نفراول با مقدار1.35 حرف دیگران برایش مهم است، اما نفر نهم بامقدار1.25 برند نفش بیشتری در خرید لپ تاپ دارد. وحالا با دستور زیر میتوان نمودار امتیاز عامل ها را ترسیم کرد:

plot(factor.computer$scores[,1],factor.computer$scores[,2])<

text(factor.computer$scores[,1],factor.computer$scores[,2],labels=data.computer$kharidar,pos=1)<

 abline(v=0,h=0,lty=2)<

آنچه که در خروجی مشاهده می کنید نشان می دهد که نفر اول هیچکدام در خرید برایش معیار نیست وامانفر سوم هم برند و هم حرف دیگران مهم است، ونفرچهارم باقرارگرفتن در بالای نمودار فاکتور2 یعنی حرف دیگران مهم است و نفر دهم برند و نام شرکت تولیدکننده برایش اهمیت دارد. برای مشاهده نمودار بار عامل ها در مقابل یکدیگر از دستور زیر استفاده می کنیم:

text(factor.computer$loading[,1],factor.computer$loading[,2],labels=names(data.computer[,1]),pos=1)

 abline(v=0,h=0,lty=2)<

پایان قسمت اول.

    تحلیل مولفه های اصلی مقدمه: تکنیک آماری تجزیه و تحلیل مولفه های اصلی (PCA)، روشی آماری است که غالبا برای بررسی گروهی از متغیرهای همبسته بکار می رود. مهم ترین کاربردهای این روش را می توان در تجزیه و تحلیل نماگرهای چندگانه، اندازه گیری و شناخت ساختارهای پیچیده، شاخص سازی و کاهش ابعاد داده ها جستجو نمود. ادامه مطلب را ببینید... این روش خصوصا در شرایطی که ابعاد داده ها و ترکیب ساختار آنها کاملا مشخص نیست مفید می باشد. سالهاست که این روش در علوم مختلف خصوصا در حوزه آنالیز داده های ژنومی استفاده های زیادی می شود. یکی از کاربردهای عمده این روش در مبحث ژنومی یافتن ساختار ارتباطی بین متغیرها است که در حقیقت همان کلاستربندی متغیرها می باشد. جهت بررسی ساختار جمعیت های مورد مطالعه آنالیز PCA بر اساس همه اطلاعات نشانگرهای در دسترس مورد ارزیابی قرار می گیرد. در  واقع روشی از آنالیزهای چند متغیره آماری است که تعداد کمتری از عوامل را بنام مولفه های اصلی از میان عوامل اولیه گزینش می کند، به طوریکه تعدادی از اطلاعات کم اهمیت حذف می شوند. اولین مولفه اساسی استخراج شده، بیشترین مقدار پراکندگی داده ها را در کل مجموعه داده ها در نظر می گیرد. این امر بدان معنی است که اولین مولفه حداقل با تعدادی از متغیرها همبسته است. دومین مولفه استخراج شده دو ویژگی مهم دارد، اول اینکه این مولفه بیشترین مجموعه داده ها که توسط مولفه اول محاسبه نشده است را در نظر می گیرد و دوم اینکه با مولفه اول همبستگی ندارد. به عبارتی، بدون در نظر گرفتن مولفه ی قبلی، با گذر از مولفه ی ابتدایی به سمت مولفه های انتهایی هر مولفه واریانس کمتری را تشریح می کند. یعنی همیشه مولفه ی اصلی اول بیشترین مقدار واریانس و مولفه های اخر کمترین واریانس را شرح می دهند که در این صورت با حذف مولفه های اخر اطلاعات زیادی از دست نخواهد رفت. در تحلیل چند متغیره، بزرگ بودن بُعد بردار تصادفی X، اغلب در به دست آوردن روش های آماری مناسب برای نمونه تصادفی موجب مشکلاتی می گردد. حال می‌خواهیم با از دست دادن حداقل اطلاعات، بُعد مشاهدات را تا حد قابل ملاحظه ای تقلیل دهیم. این تفکر از آنجا ناشی می گردد که در مراحل اولیه تحقیق، توجه به سوی متغیرهایی متمرکز است که از یک مشاهده به مشاهده دیگر بیشترین تغییرات را نشان می دهند. متغیرهایی که از یک مشاهده به مشاهده دیگر زیاد عوض نمی شوند را می توان به عنوان ثابت ها در نظرگرفت، با کنار گذاشتن متغیرهایی با واریانس پائین و توجه به متغیرهایی با واریانس بالا، می توانیم به راحتی مساله خود را در یک زیر فضایی با بُعد کمتر مورد مطالعه قرار دهیم. روش مؤلفه های اصلی را ابتدا کارل پیرسن(1971) برای متغیرهای غیرآماری پیشنهاد کرد. در اکثر موارد یک تحلیل از مؤلفه های اصلی، ارتباط هایی که قبلاً حدس زده شده را آشکـــار می سازد. تحلیل مؤلفه های اصلی در بیان های دیگر در مباحث رگرسیون چند متغیره، آنـالیز گروه بندی و تجزیه عاملی نیز به کار گرفته می شود. تحلیل مؤلفه های اصلی به ساختمان ماتریس کوواریانس به وسیله چند ترکیب خطی از متغیرهای اولیه، مربوط است. دو هدف عمده دراینجا پیگیری می شود. 1- فشرده کردن داده 2- تفسیر اطلاعات. با اینکه p مولفه ی اولیه در تغییرپذیری کل سیستم لازم است، اکثر اوقات این تغییرپذیری می تواند به وسیله تعداد کمتر k از مولفه های اصلی بیان شود. تحلیل مؤلفه های اصلی وسیله ای برای رسیدن به هدف هستند تا اینکه خودشان هدف باشند، زیرا اغلب آنها به عنوان مراحل میانی در وضعیت های بزرگتر به کار می آیند. جزئیات تحلیل مولفه‌های اصلی در تعریف ریاضی یک تبدیل خطی متعامد است که داده را به دستگاه مختصات جدید می‌برد به طوری که بزرگترین واریانس داده بر روی اولین محور مختصات، دومین بزرگترین واریانس بر روی دومین محور مختصات قرار می‌گیرد و همین طور برای بقیه. تحلیل مولفه‌های اصلی می‌تواند برای کاهش ابعاد داده مورد استفاده قرار بگیرد، به این ترتیب مولفه‌هایی از مجموعه داده را که بیشترین تاثیر در واریانس را دارند حفظ می‌کند. حالا به اجرای مولفه های اصلی در نرم افزارR می پردازیم: برای محاسبه آن از تابع ()prcomp استفاده می کنیم. این تابع و برهان هایش این امکان را به کاربر می دهد تا معادله خطی مولفه ها ،میزان توجیه واریانس هریک از آن ها و میزان امتیاز هر فرد برای هر مولفه ونمودار بای پلات دوبه دوی مولفه ها را ترسیم نمایید. شکل کلی آن: (ماتریس داد ها)prcomp برای توجیه و فهم آن از مثال زیر استفاده می کنیم: مثال: میزان متوسط مصرف 17نوع ماده غذایی مختلف در4 کشور مختلف اندازه گیری شده. هدف: بررسی ارتباط بین 4نوع کشور مورد بررسی از نظرمصرف انواع مواد غذایی است که با بای پلات دو به دوی مولفه ها صورت می گیرد.

mavad	england	wales	scotland	n.ireland
chees	105	103	103	66
carcass-meat	245	227	242	267
other-meat	685	803	750	586
fish	147	160	122	93
fats-oil	193	235	184	209
sugars	156	175	147	139
fresh-potatos	720	874	566	1033
fresh-veg	253	265	171	143
veg	488	570	418	355
processed-potatoes	198	203	220	187
processed-veg	360	365	337	334
fresh-fruit	1102	1137	957	647
cereals	1472	1582	1462	1494
beverages	57	73	53	47
soft-drinks	1374	1256	1572	1506
alcoholic-c-drinks	375	475	458	135
confectionery	54	64	62	41

  داده های بالا را در نرم افزار excel به صورت فایل متنی با پسوند txt با آدرس زیر ذخیره می کنیم ودر Rبا تابع  read table خوانده می شود.  

 data.food<-read.table("E://food.txt",header=T)<

 data.food<

                mavad england wales scotland n.ireland

1               chees     105   103      103        66

2        carcass-meat     245   227      242       267

3          other-meat     685   803      750       586

4                fish     147   160      122        93

5            fats-oil     193   235      184       209

6              sugars     156   175      147       139

7       fresh-potatos     720   874      566      1033

8           fresh-veg     253   265      171       143

9                 veg     488   570      418       355

10 processed-potatoes     198   203      220       187

11      processed-veg     360   365      337       334

12        fresh-fruit    1102  1137      957       647

13            cereals    1472  1582     1462      1494

14          beverages      57    73       53        47

15        soft-drinks    1374  1256     1572      1506

16 alcoholic-c-drinks     375   475      458       135

17      confectionery      54    64       62        41

دادهای مثال در خروجی دستور بالا بدست آمده است. برهان  header=T به برنامه می گوید که نام متغیرها در فایل اصلی مغتبر باشند. با دستور زیر مولفه های اصلی داده ها را با تابع ()prcomp اجرا می کنیم:

 pca.food<-prcomp(data.food[-1])<

 pca.food<

:Standard deviations

[1] 918.21464 135.55252  88.48548  28.66090

:Rotation

                PC1        PC2         PC3          PC4

england   0.4905118  0.2851530 -0.06732189  0.820703161

wales     0.4985412  0.3498177 -0.63755952 -0.471807207

scotland  0.5047566  0.2392601  0.76434260 -0.322111393

n.ireland 0.5060391 -0.8596917 -0.06903631 -0.009409143

ستون اول داده ها  یعنی نام غذاها با گزینه] data.food[-1 از آبجکت داده ها حذف می شود، نتایج تجزیه در pca.food نگهداری می شود. برای مشاهده هریک از توابع به شکل خطی از دستور زیر استفاده می کنیم:

 pc1<-pca.food$rotation[,1]<

 pc1<

  england     wales  scotland n.ireland

0.4905118 0.4985412 0.5047566 0.5060391

 pc2<-pca.food$rotation[,2]<

 pc2<

  england      wales   scotland  n.ireland

 0.2851530  0.3498177  0.2392601 -0.8596917

 pc3<-pca.food$rotation[,3]<

 pc3<

    england       wales    scotland   n.ireland

-0.06732189 -0.63755952  0.76434260 -0.06903631

 pc4<-pca.food$rotation[,4]<

 pc4<

    england   wales     scotland    n.ireland

 0.820703161 -0.471807207 -0.322111393 -0.009409143

  برای مشاهده سهم نسبی هرمولفه در توجیه واریانس داده ها از تابع () summary استفاده می کنیم:  

 summary(pca.food)<

:Importance of components

                            PC1       PC2     PC3      PC4

Standard deviation     918.2146 135.55252 88.4855 28.66090

Proportion of Variance   0.9689   0.02112  0.0090  0.00094

Cumulative Proportion    0.9689   0.99006  0.9991  1.00000

 وحالا برای بررسی گرافیکی بزرگی نسبی مولفه های تعریف شده از تابع () plot استفاده می کنیم:

 plot(pca.food)<

همانطور که در شکل مشخص است ارزش مولفه اول از نظر توجیه واریانس به مراتب بیشتر از سه مولفه دیگر است. برای مشاهده بای پلات از تابع biplot()pc1,pc2 استفاده می کنیم. این تابع به کاربر این امکان را می دهد تا اندازه شکل ورنگ اجزای پلات را تغییر می دهد.

biplot(pca.food,xlabs=data.food$food)

برای ترسیم بای پلات سایر مولفه ها از برهان choices استفاده می کنیم:

biplot(pca.food,choices=2:3)<

 biplot(pca.food,choices=3:4)<

برای مشاهده ریشه دوم مقادیر ویژه وبردار ویژه از دستور زیر استفاده می کنیم:   ریشه دوم مقادیر ویژه

 pca.food$sdev<

[1] 918.21464 135.55252  88.48548  28.66090

بردار ویژه

 pca.food$rotation<

                PC1        PC2         PC3          PC4

england   0.4905118  0.2851530 -0.06732189  0.820703161

wales     0.4985412  0.3498177 -0.63755952 -0.471807207

scotland  0.5047566  0.2392601  0.76434260 -0.322111393

n.ireland 0.5060391 -0.8596917 -0.06903631 -0.009409143

  بجای داده های اولیه از داده های نرمال شده در محاسبه مولفه های اصلی استفاده می کنیم:

 normalpca<-prcomp(data.food[-1],scale=T)<

 normalpca<

:Standard deviations

[1] 1.96941791 0.28565281 0.18937299 0.06271725

:Rotation

                PC1        PC2         PC3          PC4

england   0.5054038 -0.2832735  0.05997997  0.812850226

wales     0.5013797 -0.3456426  0.63233439 -0.478855745

scotland  0.5012355 -0.2196498 -0.76852569 -0.331489340

n.ireland 0.4918824  0.8672031  0.07696686 -0.009300713

استفاده از داده های نرمال شده معادل استفاده از ماتریس ضرایب همبستگی بجای ماتریس واریانس کواریانس داده های اصلی می باشد.

     prcomp(data.food[-1],tol=0.5)<

:Standard deviations

[1] 918.2146

:Rotation

                PC1

england   0.4905118

wales     0.4985412

scotland  0.5047566

n.ireland 0.5060391

  این گزینه tol می گوید وقتی تنها چند مولفه اول که ارزش بیشتری دارند محاسبه شوند. وقتی tol=0.5 باشد مولفه های که میزان انحراف آنها کمتر یا مساوی با 50درصد انحراف معیار مولفه اول باشد حذف می شود. تابع دیگری که برای محاسبه مولفه اصلی بکار می رود تابع princomp است که اطلاعات بیشتری می دهد اما کمتر مورد استفاده قرار می گیرد.تفاوت عمده بین این تابع و تابع prcomp در نحوه محاسبات است. princomp این تابع برای محاسبات واریانس وکواریانس برمبنای مخرج n-1 prcomp  واین تابع برای محاسبات واریانس وکواریانس برمبنای مخرج n است.  

پایان قسمت دوم