تابع گاما - Gamma Function

1402/04/27

دسترسی سریع

GammaFunction

مسئله یافتن تابعی که مقادیرش به ازای آرگومان های صحیح و مثبت فاکتوریل های ۱=!۱و ۲=!۲ و ۶=!۳ و ... و 1.2.3...n!= n باشند توسط اویلر (Euler) به کمک انتگرال ناسره حل شد.

تابع گاما (کامل) Gamma(n) به صورت بسط فاکتوریل (factorial) به آرگومان های عددی مختلط و حقیقی است. این تابع با معادله ی زیر به فاکتوریل مرتبط می شود:

Gamma(n)=(n-1)!,

که این نماد مرسوم با توجه به گفته ی لژاندر به طور مختصری مشکل تر از نماد ساده تر معرفی شده توسط گائوس Pi(n)=n! است (Gauss 1812; Edwards 2001, p. 8).

این تابع در همه جا به جز در ..., , z=0 تحلیلی (analytic) است، و باقیمانده ی آن در z=-k عبارت است از

Res_(z=-k)Gamma(z)=((-1)^k)/(k!).

هیچ نقطه ی ای را نمی توان یافت که در آن Gamma(z)=0 .

در استفاده ی مرسوم برای نمایش سری توانی از یک تابع گاما، یک قرارداد نمادگذ‌اری وجود دارد. در حالیکه مولفانی همچون (Watson (1939 بر استفاده از Gamma^n(z) (یعنی بکارگیری از یک قرارداد تابع مثلثاتی-گون) تاکید دارند، طبق سنت نمادگذاری [Gamma(z)]^n استفاده می شود.

تابع گاما را می توان به صورت یک انتگرال معین (definite integral) برای R[z]>0 تعریف کرد (شکل تعریف شده توسط اویلر)

(*) int_0^inftyt^(z-1)e^(-t)dt Gamma(z)

2int_0^inftye^(-t^2)t^(2z-1)dt,

یا

Gamma(z)=int_0^1[ln(1/t)]^(z-1)dt.

تابع گامای کامل را می توان همچنین به تابع گامای ناتمام (incomplete gamma function) بالایی Gamma(a,x) و تابع گامای ناتمام پایینی بسط داد.

نمودار قسمت های حقیقی و موهومی Gamma(z) در صفحه ی مختلط در شکل بالا نشان داده شده است.

با انتگرال گیری جز به جز از معادله (*) برای یک آرگومان حقیقی، مشاهده می شود که

int_0^inftyt^(x-1)e^(-t)dt Gamma(x)

[-t^(x-1)e^(-t)]_0^infty+int_0^infty(x-1)t^(x-2)e^(-t)dt

(x-1)int_0^inftyt^(x-2)e^(-t)dt

(x-1)Gamma(x-1).

چنانچه یک عدد صحیح باشد، آنگاه

(n-1)Gamma(n-1) Gamma(n)

(n-1)(n-2)Gamma(n-2)

(n-1)(n-2)...1

(n-1)!,

بنابراین تابع گاما به ازای آرگومان های صحیح مثبت (positive integer) به فاکتوریل تقلیل می یابد.

یک رابطه ی زیبا مابین Gamma(z) و تابع زتای ریمان (Riemann zeta function) zeta(z) به صورت زیر است

zeta(z)Gamma(z)=int_0^infty(u^(z-1))/(e^u-1)du

برای R[z]>1 (Havil 2003, p. 60).

تابع گاما همچنین می تواند به صورت یک حاصلضرب نامتناهی (infinite product) یعنی صورت ویراشتراوس (Weierstrass form) تعریف شود:

Gamma(z)=[ze^(gammaz)product_(r=1)^infty(1+z/r)e^(-z/r)]^(-1),

که gamma ثابت اویلر ـ ماشرونی (Euler-Mascheroni constant) است (Krantz 1999, p. 157; Havil 2003, p. 57). با لگاریتم گرفتن از طرفین معادله ی اخیر داریم:

-ln[Gamma(z)]=lnz+gammaz+sum_(n=1)^infty[ln(1+z/n)-z/n].

با مشتق گیری از این رابطه بدست می آوریم:

1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)((1/n)/(1+z/n)-1/n) -(Gamma^'(z))/(Gamma(z))

1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n)

-Gamma(z)[1/z+gamma+sum_(n=1)^(infty)(1/(n+z)-1/n)] Gamma^'(z)

Gamma(z)Psi(z)

Gamma(z)psi_0(z)

-Gamma(1){1+gamma+[(1/2-1)+(1/3-1/2)+...+(1/(n+1)-1/n)+...]} Gamma^'(1)

-(1+gamma-1)

-gamma

-Gamma(n){1/n+gamma+[(1/(1+n)-1)+(1/(2+n)-1/2)+(1/(3+n)-1/3)+...]} Gamma^'(n)

-(n-1)!(1/n+gamma-sum_(k=1)^(n)1/k),

که Psi(z) تابع دی گاما (digamma function) و psi_0(z) تابع چند گامایی (polygamma function) هستند. امین مشتق ها برحسب توابع چند گامایی (polygamma functions) psi_n , psi_(n-1) , ..., psi_0 داده می شوند.

نظرات

هیچ نظری وجود ندارد.

تابع گاما - Gamma Function

دسترسی سریع

نظرات

افزودن نظر

آخرین مقالات