امید ریاضی

امید ریاضی

زندگی روزانه علاوه بر مفاهیم پیشامد، احتمال، و متغیر تصادفی با مفهوم دیگری به­ نام امید یا انتظار همراه است. در حالی که انسان همواره با امید زندگی می­کند، ولی نمی­تواند بیش از حد به بعضی رویدادها چشم امید داشته باشد. امید و انتظار هم مانند تصادف و شانس، در عین بی­نظامی، تابع نظام و قوانینی می­باشد.   از نظر تاریخی امید و انتظار مانند تصادف و احتمال از راه بازی های قمار جنبه ریاضی پیدا کرده است. برای اینکه مطلب روشن شود به بازی شیر و خط زیر توجه نمائید:

.

  فرض کنید با خریدن یک بلیط بتوانید در یک بازی تفریحی شرکت کنید. در این بازی یک ماشین سکه انداز با فشار تکمه­ای به تصادف سه سکه با رنگ­های مختلف را باهم می­ریزد و با فشار تکمه­ای دیگر به اندازه شماره شیرها، سکه ده ریالی به شما می­پردازد.   صاحب ماشین مدعی است که اصلاً قمار و سودجویی ندارد و صرفاً می­خواهد مردم را سرگرم کند، ولی قیمت هر بلیط باید طوری باشد که بعد از چند بازی رویهم ضرر نکند. منصفانه بهای هر بلیط چقدر باید باشد؟  

.

چون سکه­ها کاملاً به تصادف می­ریزند، احتمال اینکه شماره شیرها ۰،۱،۲،۳ شوند به­ترتیب ۸/۱، ۸/۳ ، ۸/۳،۸/۱ می­باشد. حال اگر تعدادی زیاد بلیط، مثلاً ۴۰۰ بلیط، فروش رود انتظار می­رود (بنابر تعبیر احتمال با فراوانی نسبی) ۵۰ مرتبه هیچ شیر،۱۵۰ مرتبه یک شیر، ۱۵۰مرتبه دو شیر، و ۵۰ مرتبه سه شیر مشاهده شود. بنابراین انتظار می­رود که ماشین برای ۴۰۰ بلیط مبلغ زیر را بپردازد:   (400×۱/۸×۰)+(۴۰۰×۳/۸×۱)+ (۴۰۰×۳/۸×۲)+ (۴۰۰×۱/۸×۳)=۶۰۰ tooman   برای اینکه صاحب ماشین نه سود نماید نه زیان، بهای هر بلیط به­طور متوسط یا منصفانه باید ۱٫۵=۴۰۰÷۶۰۰ تومان باشد. بنابراین اگر ۴۰۰ بلیط به مبلغ ۶۰۰ تومان فروخته شود انتظار می­رود که ماشین هم همین مبلغ را بپردازد.  

.

در این مثال یک متغیر تصادفی X ( یعنی شماره شیرها در ریزش ۳ سکه ) داریم که جدول توزیع احتمال آن به­ صورت زیر است:       عدد زیر را که حقیقت معدل وزنی شماره شیرها می­باشد، امیدریاضی یا امیدX  می­نامند و با E(X)نشان می­دهند (E حرف اول کلمه Expectation به­معنای انتظار است)   E(x)= (1/8×۰)+(۳/۸×۱)+( ۳/۸×۲) + (۱/۸×۳)=۱٫۵   تعبیر فراوانی E(x)=1.5 چنین  است: اگر ماشین این سه سکه را بارها مثلاً ۱۰۰۰ بار بریزد انتظار داریم معدل شیرها در هر بار بشود عدد ۵/۱٫