آزمون z ،آزمون خطاي استاندارد ميانگين

آزمون  z  ،آزمون خطاي استاندارد ميانگين

اين آزمون براي ارزيابي ميزان همقوارگي يا يكسان بودن و يكسان نبودن (Goodness of fit) ميانگين نمونه اي   و ميانگين جامعه   به كار مي رود.

اين آزمون مواقعي به كار مي رود كه مي خواهيم بدانيم آيا ميانگين برآورد شده نمونه اي با ميانگين جامعه جور مي آيد يا نه.  اگر تفاوت   و كم باشد، اين تفاوت معلول تغيير پذيري نمونه اي شناخته مي شود، ولي اگر زياد باشد نتيجه گرفته مي شود كه برآورد نمونه اي با پارامتر جامعه يكسان (همقواره) نيست.

    كه در آن    = ميانگين جامعه    و   = ميانگين برآورد شده نمونه اي   

       و       = خطاي استاندارد نمونه اي

    كه در آن   = انحراف معيار توزيع متغير در جامعه    و   = تعداد نمونه

اين ازمون پارامتري يا پارامتريک است يعني استفاده از آن مشروط به آن است كه دو پارامتر جامعه كه   و    باشند، معلوم باشند. همچنين براي آزمون متغيرهاي پيوسته (مقياس فاصله اي) كاربرد دارد. تعداد نمونه   بزرگتر  و يا مساوي 30  باشد   و نيز توزيع متغير در جامعه نرمال باشد.

آزمون z يا Z Test براي مقايسه ي يک نسبت با عدد ثابت توضيح، فرمول و مثال براي آزمون زد

برای بررسی معنی دار بودن اختلاف بین یک نسبت مفروض p0  و یک نسبت مشاهده شده p ، در صورتی که حجم نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد ( تقریباً n>30) ، از آزمون z استفاده می کنیم .

در این روش از جامعه نمونه ای به حجم n گرفته شده و نسبت کسانی را که دارای ویژگی مورد نظر هستند ، محاسبه می شود . فرضیه صفر به صورت

 h0 :p=p0 ،

بیان می شود و آماره آزمون نیز عبارت است از :

با توجه به فرض مقابل مقادیر بزرگ یا خیلی کوچک آماره ی z منجر به رد فرض صفر مبنی بر برابری نسبت ویژگی مورد نظر در جامعه با مقدار p0 می شود .

 مثال : با فرض n=100  ، p=0.4  , p0=0.5 آماره z برابر است با :

آزمون z يا Z Test براي آزمون فرض تساوي دو نسبت توضيح ، فرمول آزمون و يک مثال

اين آزمون براي مقايسه نسبتي از افراد که داراي ويژگي مشخصي هستند در دو جامعه ي متفاوت استفاده مي شود . در اين آزمون براي تقريب توزيع دوجمله اي به وسيله ي توزيع نرمال فرض مي شود که اندازه ي نمونه در هر دو جامعه به اندازه ي کافي بزرگ باشد ، (n1,n2≥30) . با تعريف اين که p2,p1 به ترتيب نسبت افراد داراي ويژگي مورد نظر در دو جامعه مي باشند ، آماره ي آزمون را به صورت زير تعريف مي کنيم :

که د رآن

تحت فرضيه ي صفر p1=p2   بوده و z تقريبا داراي توزيع نرمال است .با توجه به يک طرفه يا دوطرفه بودن فرض مقابل با مقدار z در جدول توزيع نرمال مقايسه مي شود .

مثال : با فرض n1=952 , n2=1168 , p1=0.00325 , p2=0.0573  آماره ي z به صورت زير به دست مي آيد :

آزمون z يا Z Test براي مقايسه ضريب همبستگي با عدد ثابت شرح آزمون ، فرمول آزمون و مثال عددي

براي تعيين معني دار بودن اختلاف ضريب همبستگي با مقدار مشخص ρ0 از اين آزمون استفاده مي شود . براي اجراي اين آزمون بايد yوx ازتوزيع نرمال گرفته شده باشند . علاوه بر اين واريانس مقادبر x مستقل از y بوده و رابطه ي بين yوx نيز خطي باشد . باتعريف

که در آن

آماره آزمون به صورت

خواهد بود .

زماني که شرايط برقرار نباشد از آزمون همبستگي رتبه اي کندال استفاده مي کنيم .

مثال : با در نظر گرفتن n=24 , ρ0=0.5 داريم :

و آماره ي آزمون برابر است با ‌،

 اين آماره با مقدار بحراني حاصل از جدول توزيع نرمال مقايسه مي شود .