تابع مولد گشتاور

1402/06/14

دسترسی سریع

تابع مولد گشتاور یا تابع مولد ممان یا ام جی اف (به انگلیسی: Moment-generating function)‏ یک تابع پر مصرف در ریاضیات آمار و احتمالات است. با داشتن تابع مولد ممان یک متغیر تصادفی می‌توان توزیع احتمالی آن را بطور کامل تعریف نمود. علاوه بر توزیع های یک متغیره تابع مولد گشتاور را می توان برای متغیرهای تصادفی برداری یا ماتریسی نیز تعریف کرد. تابع مولد گشتاور (بر خلاف تابع مشخصه ) همیشه قابل تعریف نیست.

تعریف

در آمار و احتمال تابع مولد گشتاور(MGF) برای متغیر تصادفی X به صورت زیر تعریف می شود.

$M_X(t) := E\left[e^{tX}\right], \quad t \in \mathbb{R},$

هر گاه این امید ریاضی وجود داشته باشد

$M_X(0)$ همیشه وجود دارد و مقدار آن برابر $1$ است.

نکته مهمی که درباره این تابع وجود دارد این است که این تابع ممکن است وجود نداشته باشد چون نمی توان گفت که انتگرال مطلقاهمگراست.

به صورت کلی اگر $\mathbf X = ( X_1, \ldots, X_n)$ یک بردار $n$ بعدی تصادفی باشد به جای $tx$ ااز $\mathbf t \cdot \mathbf X = \mathbf t^\mathrm T\mathbf X$ استفاده میکنیم.

$M_{\mathbf X}(\mathbf t) := E\left(e^{\mathbf t^\mathrm T\mathbf X}\right).$

علت تعریف تابع مولد گشتاور به این شکل

علت تعریف تابع مولد گشتاور به ایی شکل این است که میتوان از آن برای یافتن تمامی گشتاورها (moment) استفاده کرد.اگر تابع $e^{tX}$ را بسط دهیم به عبارت زیر می رسیم.

$e^{tX} = 1 + tX + \frac{t^2X^2}{2!} + \frac{t^3X^3}{3!} + \cdots.$

که $m_i$ گشتاور iام است.

اگر از M_X(t) i بار مشتق بگیریم و قرار دهیم $t=0$ گشتاور iام نسبت به مبدا را به ما می دهد.

تابع مولد گشتاور توزیع های مختلف

توزیع	تابع مولد گشتاور (M_X(t	(Characteristic function φ(t
توزیع برنولی $\, P(X=1)=p$	$\, 1-p+pe^t$	$\, 1-p+pe^{it}$
توزیع دوجمله ای (l B(n, p	$\, (1-p+pe^t)^n$	$\, (1-p+pe^{it})^n$
توزیع پواسون (Pois(λ	$\, e^{\lambda(e^t-1)}$	$\, e^{\lambda(e^{it}-1)}$
توزیع یکنواخت (U(a, b	$\, \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}$	$\, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}$
توزیع نرمال (N(μ, σ²	$\, e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}$	$\, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}$
Chi-square χ²_k	$\, (1 - 2t)^{-k/2}$	$\, (1 - 2it)^{-k/2}$
توزیع گاما(Γ(k, θ	$\, (1 - t\theta)^{-k}$	$\, (1 - it\theta)^{-k}$
توزیع نمایی (Exp(λ	$\, (1 - t\lambda^{-1})^{-1}$	$\, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}$
Multivariate normal N(μ, Σ	$\, e^{t^\mathrm{T} \mu + \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}$	$\, e^{i t^\mathrm{T} \mu - \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}$
Degenerate δ_a	$\, e^{ta}$	$\, e^{ita}$
توزیع لاپلاس (L(μ, b	$\, \frac{e^{t\mu}}{1 - b^2t^2}$	$\, \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}$
توزیع کشی (Cauchy(μ, θ	not defined	$\, e^{it\mu -\theta\|t\|}$
Negative Binomial NB(r, p	$\, \frac{(1-p)^r}{(1-pe^t)^r}$	$\, \frac{(1-p)^r}{(1-pe^{it})^r}$

محاسبه

تابع مولد گشتاور به کمک انتگرال Riemann–Stieltjes محاسبه می شود:

$M_X(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{tx}\,dF(x)$

که $F$ تابع توزیع تجمعی (CDF) است.

اگر $f(x)$ تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی پیوسته $X$ باشد آنگاه $M_x(-t)$ برابر تبدیل لاپلاس دوطرفه $f(x)$ است.

$m_i$ نشان دهنده گشتاور iام است.

جمع متغیرهای تصادفی مستقل

ااگر که X₁, X₂, …, X_n متغیرهای تصادفی مستقل از هم باشند ( لازم نیست توزیع یکسانی داشته باشند) و

$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,$

که در آن $a_i$ ثابت هستند آنگاه تابع چگالی احتمال $S_n$ برابر کانولوشن توابع چگالی احتمال $X_i$ ها خواهد بود و تابع مولد گشتاور آن به صورت زیر خواهد بود.

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_1t)M_{X_2}(a_2t)\cdots M_{X_n}(a_nt) \, .$

متغیرهای تصادفی برداری

برای متغیر تصادفی $X$ که عناصر آن حقیقی است تابع مولد گشتاور به صورت زیر تعریف می شود.

$M_X(t) = E\left( e^{\langle t, X \rangle}\right)$

که $t$ یک بردار است و $\langle \cdot, \cdot \rangle$ نشان دهنده ضرب داخلی است.

خواص مهم

مهمترین خاصیت این تابع این است که اگر ۲ توزیع تابع مولد گشتاور یکسانی داشته باشند توزیع آن دو در تمام نقاط یکی است.بنابراین اگر برای تمامی مقادیر $t$

$M_X(t) = M_Y(t),\,$

آنگاه:

$F_X(x) = F_Y(x) \,$

رابطه بالا برای هر x برقرار است (یعنی توزیع X و Y یکی است).توجه شوداین گزاره با گزاره زیر متفاوت است.

اگر دو توزیع گشتاورهای یکسان داشته باشند در تمامی نقاط یکسان هستند. چون در بعضی موارد گشتاور وجود دارد ولی تابع مولد گشتاور وجود ندارد چون در بعضی موارد حد

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^n \frac{t^im_i}{i!}$

وچود ندارد برای مثال توزیع لگ نرمال از این دسته است.

کاربرد تابع مولد گشتاور

گشتاورهای یک متغیر تصادفی را می‌توان به سادگی از طریق تابع مولد گشتاور و بدون نیاز به انتگرال‌گیری بدست آورد:

$E\left(Y^n\right)=m_Y^{(n)}(0)=\left.\frac{\mathrm{d}^n m_Y(t)}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0}$

نظرات

هیچ نظری وجود ندارد.